Jacques PLUSQUELLEC
: Professeur à l’Institut Universitaire de Technologie de Cachan (Université Paris-Sud) - Chargé de Conférences à l’École Centrale des Arts et Manufactures
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L’étude et l’analyse des vibrations (ou signaux) ont pris, au cours des dernières années, un essor considérable en raison du développement de techniques de plus en plus sophistiquées et de besoins les plus variés dans différents domaines : mécanique (transports, machines...), acoustique, optique, transmissions, etc.
Les préoccupations actuelles peuvent être, très schématiquement, divisées en trois catégories.
La première, théorique, a trait au calcul dynamique des structures en tant que prolongement de la résistance des matériaux et de la mécanique des milieux continus. S’il est possible dans les cas simples, c’est-à-dire pour un nombre restreint de problèmes, de calculer le comportement de celles-ci et leur isolation pour limiter les nuisances, dans la majorité des cas, les méthodes analytiques deviennent insuffisantes pour obtenir, par exemple, les fréquences de résonance d’ordre élevé de systèmes continus. Ainsi le calcul des premiers modes propres d’une poutre d’axe rectiligne, de section constante, encastrée à une extrémité, libre à l’autre, ne pose pas la moindre difficulté ; par contre, si on lui associe une ou plusieurs autres poutres de directions et de sections différentes, les solutions deviennent quasi impossibles à trouver. Et pourtant, dans de nombreux cas, il faut absolument connaître ces fréquences car, pour des raisons d’économie de matière, les constructions sont de plus en plus légères donc appelées à vibrer pour de basses fréquences, en général situées dans des zones dangereuses pour la structure ou son environnement.
La deuxième concerne une aide extrêmement précieuse, bien que relativement récente, apportée aux bureaux d’études par la mise sur le marché d’ordinateurs et de micro-ordinateurs associés à des progiciels très performants fondés sur la méthode des éléments finis, d’un coût non prohibitif, rendant la partie calcul aisée. Si dans la plupart des cas les résultats sont valables, la plus grande prudence doit être de rigueur lors de l’exploitation des résultats, certains progiciels estompant, par exemple, des modes propres intermédiaires. Cela amène à tempérer, lors de la prise en main de l’outil informatique, l’ardeur des novices pour ces méthodes séduisantes de calcul, car, si elles permettent de prévoir le comportement de structures impossibles à envisager avec la seule aide de la calculette, l’opérateur doit rester extrêmement vigilant et critique vis-à-vis des valeurs affichées à l’écran, d’autant plus qu’il n’a pas eu à intervenir, une fois la modélisation terminée, le déroulement du programme étant complètement aveugle. Dans certaines circonstances, cette stratégie du presse-bouton peut réserver de bien désagréables surprises.
La dernière est d’ordre expérimental : en effet, certains progiciels calculent les modes propres d’ordre élevé avec des erreurs intolérables, aussi l’ultime recours reste l’expérimentation. La mesure réclame, elle aussi, de multiples connaissances et une extrême rigueur. Il ne suffit plus de brancher, étalonner et lire sur un écran !
Le domaine des vibrations étant devenu un champ extrêmement vaste et de complexité croissante, les objectifs de cet article se limiteront à donner des connaissances de base indispensables à la conduite d’un projet en :
indiquant les théories mathématiques indispensables que le technicien ou l’ingénieur doivent avoir constamment présentes en mémoire ;
définissant les notions de base nécessaires à l’utilisation des appareils actuellement sur le marché, principalement les analyseurs en temps réel ;
incitant les projeteurs à confronter au maximum les résultats obtenus par voies analytique, expérimentale et informatique en n’hésitant pas à s’appuyer au départ sur des exemples simples.
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5. Étude de quelques réponses complexes en fréquence
Pour caractériser un système mécanique linéaire, il est commode d’utiliser les réponses complexes en fréquence. Les principales sont indiquées dans le tableau 6, bien que les divers auteurs n’utilisent pas les mêmes dénominations ; il règne même une certaine anarchie dans la littérature.
Les plus fréquemment rencontrées sont l’impédance et son inverse la mobilité, la réceptance et l’inertance, car elles permettent d’obtenir aisément les caractéristiques dynamiques du système, en particulier les fréquences de résonance et d’antirésonance, le coefficient d’amortissement, etc. Les méthodes utilisées sont fondées sur certaines analogies avec les circuits électriques. Si les bases des calculs sont connues depuis longtemps, elles n’ont trouvé des développements que grâce aux appareils électroniques de mesure commercialisés récemment (méthodes numériques).
5.1 Impédance complexe
On peut considérer deux impédances complexes :
l’impédance ponctuelle Z 11 qui est le rapport entre la force excitatrice et la vitesse, mesurée au point d’application de la force et suivant la direction de celle-ci ;
l’impédance de transfert Z 12 qui est le rapport entre la force excitatrice et la vitesse, mesurée dans une direction différente de celle de la force appliquée ou en un autre point du système.
Amortisseur : soit v la vitesse relative entre les extrémités de l’amortisseur dont le coefficient de frottement est λ, et f = f 0 exp (jω t ) la force excitatrice (figure 49a ) :
f = λv = f 0 exp (jω t )
L’impédance complexe Z λ est :
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Bibliographie & annexes
Isolation vibratoire des machines
