Quaternions

1. Définition et propriétés des quaternions

2. Représentation d’une rotation par un quaternion

3. Application aux produits de rotations

3.1 Première méthode

3.2 Deuxième méthode

3.3 Représentation de l’attitude d’un véhicule

3.3.1 Notation engin

3.3.2 Notations avion-bateau

Références bibliographiques

L’utilisation des nombres complexes (de la forme a + ib, avec a et b réels et i2 = – 1, permet de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ.

La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement tenté un certain nombre de mathématiciens. La difficulté provenait du fait qu’ils cherchaient à résoudre cette question en respectant simultanément deux contraintes :

Ce fut le mathématicien et astronome irlandais Hamilton qui réussit en 1843, après une dizaine d’années de recherches, à dégager les points suivants, aboutissant ainsi à la découverte des quaternions [1] [2] [3] :

Hamilton réussit ainsi à définir un ensemble de nombres à quatre composantes, présentant une structure de corps non commutatif (cf article Langages des ensembles et structures [AF 33] dans le présent traité), que lui-même et ses élèves appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage et de navigation, par exemple à propos des systèmes inertiels à composants liés [7].

L’objet de cet article est de rappeler la définition des quaternions, de montrer comment ils peuvent être associés à des vecteurs à trois dimensions et être utilisés dans la représentation des rotations.