Problèmes classiques de dynamiques stochastiques : méthodes d’études

1. Théorie élémentaire des probabilités et des processus stochastiques

1.1 Fondements de la modélisation stochastique

1.2 Variable aléatoire à valeurs dans XXX

1.3 Processus et champs stochastiques classiques

1.4 Processus de diffusion et équations différentielles stochastiques

1.5 Statistiques sur les trajectoires des processus stochastiques

1.6 Représentation intégrale et échantillonnage des processus et des champs

1.7 Ergodicité

2. Vibrations aléatoires des systèmes à comportement linéaire

2.1 Oscillateur linéaire simple à un degré de liberté

2.2 Système linéaire continu invariant en temps

2.3 Système dynamique linéaire de dimension finie

3. Vibrations aléatoires des systèmes à comportement non linéaire

3.1 Position du problème

3.2 Méthode d’étude de la solution à l’aide des EDSI

3.3 Méthodes de construction de la solution

4. Stabilité des systèmes dynamiques linéaires à coefficients aléatoires

4.1 Position du problème

4.2 Stabilité du système sans second membre

4.3 Stabilité du système avec second membre

Principales notations d’algèbre linéaire

Abréviations utilisées dans le texte

Références bibliographiques

Le domaine abordé est beaucoup trop vaste et les différents aspects trop variés pour qu’ils puissent être traités et développés en détail dans cet article. Devant limiter l’exposé, nous avons dû effectuer des choix. Il semble que les difficultés rencontrées par les ingénieurs d’études et de recherches, qui sont confrontés à des problèmes de dynamique stochastique, que nous appellerons encore problèmes de vibrations aléatoires, soient dues à deux facteurs principaux.

Dans ces conditions les objectifs que nous nous sommes fixés sont les suivants :

La terminologie classique ne signifie pas du tout que les méthodes appliquées soient toujours simples. Bien au contraire, une majorité de ces problèmes dits classiques nécessite la mise en oeuvre de méthodes mathématiques et numériques avancées, ainsi que des moyens informatiques puissants. Du reste, un certain nombre de ces problèmes ne sont pas encore résolus et font l’objet d’un effort de recherche très important sur le plan international.

Les limites des méthodes proviennent, le plus souvent, des difficultés liées à la numérisation. Par exemple, les vibrations aléatoires stationnaires d’un milieu continu solide, occupant un domaine borné de l’espace, viscoélastique linéaire, à paramètres déterministes et excité par un champ de forces stochastique, gaussien, stationnaire en temps, s’étudient sans difficulté sur le plan théorique. On se ramène à un problème de filtrage linéaire de dimension infinie, traité classiquement par analyse spectrale. Le problème est alors la numérisation de la solution mathématique, lié à la construction d’une approximation finie de l’opérateur de l’élastodynamique. Pour ce problème, le domaine des basses fréquences (BF) se résout assez facilement, le domaine des moyennes fréquences (MF) nécessite des méthodes numériques avancées que nous ne pourrons malheureusement pas exposer ici, et le domaine des hautes fréquences (HF) est encore loin d’être complètement résolu. On notera donc que, même pour des problèmes linéaires qui sont simples et résolus sur le plan mathématique, la construction effective de la solution n’est pas encore possible dans tous les cas.