Résolution d’équations
Calcul formel

Le calcul formel est de plus en plus connu dans le monde des scientifiques et en particulier dans celui des ingénieurs. Cela est dû en partie à la « démocratisation » de son utilisation. En effet, il y a quelques années, seule une grosse configuration d’ordinateur permettait de faire fonctionner correctement les systèmes de calcul formel existants. De nos jours, ces systèmes fonctionnent raisonnablement sur des micro-ordinateurs à faible coût (PC, Macintosh). Ensuite, sous l’impulsion du système de calcul formel Mathematica, une grande publicité a été faite pour ces systèmes, les faisant ainsi connaître du grand public scientifique. Aujourd’hui, presque tout utilisateur d’un ordinateur peut se procurer, à un prix raisonnable, un système de calcul formel.

Lorsque l’on vient d’acquérir un tel système, il est très facile, dans un premier temps, de réaliser des calculs simples, du style « calculatrice formelle », mais ensuite on veut généralement aller plus loin et, là, une certaine connaissance du système et de ses limitations est indispensable pour éviter le découragement de l’utilisateur. Du temps de formation est donc nécessaire pour une utilisation optimale d’un système de calcul formel.

Alors, une autre question apparaît : « le calcul formel est-il utile pour moi ? » ; autrement dit, « est-il rentable pour moi de passer du temps à apprendre à utiliser un tel système ? ». Le but de ce chapitre est de répondre à cette question. Pour cela, nous allons passer en revue les principaux domaines des mathématiques dans lesquels le calcul formel peut résoudre des problèmes. Ces domaines sont ceux où l’ingénieur a généralement à travailler : les calculs sur les nombres et les fractions rationnelles, la dérivation, la simplification de formules et les tracés de courbes qui sont la base de tout système de calcul formel, les calculs intégral et matriciel, la résolution d’équations couramment utilisées par les ingénieurs et, enfin, le calcul numérique. Ce dernier est en général la fin du travail de l’ingénieur et le calcul formel s’avère considérablement utile dans ce domaine ; nous insistons particulièrement sur ce point. Pour chaque partie, nous montrons ce que sait faire le calcul formel, comment il le fait et quelles sont ses limitations.

Un grand nombre d’exemples émaillent le chapitre, afin de montrer le fonctionnement du calcul formel à travers un système. Nous avons choisi le système de calcul formel Maple (version V.3) pour cela, car c’est un système très largement diffusé (avec Mathematica), qu’il dispose d’une bibliothèque suffisamment riche et ouverte (le programme source de la plupart des fonctions est accessible) et qu’il est aisément extensible.

Le but de ce chapitre n’est pas la description du système de calcul formel Maple. Nous n’expliquerons pas de façon détaillée la syntaxe et le fonctionnement de ce système. Mais les exemples ont été choisis pour qu’ils soient compréhensibles par le lecteur ; des explications sont données chaque fois que cela est nécessaire.

Fonctionnement d’un système de calcul formel comme Maple. L’utilisateur entre une commande, terminée par un point virgule « ; » dans une syntaxe très naturelle, et Maple affiche la réponse en format haute résolution qui ressemble à la typographie mathématique. Si l’on remplace le point virgule par deux points « : », la réponse n’est pas affichée. Par ailleurs, Maple utilise le principe des packages, c’est-à-dire qu’un grand nombre de commandes sont classées par groupes de même fonctionnalité. Dans ce cas, l’appel de la commande s’écrit <nom du package> [<nom de la commande>], comme linalg[det].